Phép chiếu lập thể của một hình cầu đơn vị từ điểm cực trên lên mặt phẳng z = 0, biểu diễn trên tiết diện như hình vẽ

Phần này nói đến phép chiếu của hình cầu đơn vị từ cực bắc lên mặt phẳng thông qua đường xích đạo. Hình cầu đơn vị trong không gian 3 chiều R3 là tập các điểm (x, y, z) thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1. Cho N = (0, 0, 1) là "cực Bắc", và M là phần còn lại của hình cầu. Mặt phẳng z = 0 chạy qua trung tâm của hình cầu; "đường xích đạo" là phần giao của hình cầu với mặt phẳng.

Với điểm P bất kì trên M, có một đương thẳng duy nhất qua N và P, và đường thẳng này giao với mặt phẳng z = 0 tại duy nhất 1 điểm P'. Ta định ra phép chiếu lập thể của P là điểm P' trong mặt phẳng.

Để thực hiện trên máy tính, ta cần công thức cụ thể. Trong hệ tọa độ Descartes (x, y, z) trên hình cầu và (X, Y) trên mặt phẳng, phép chiếu và phép đảo được cho bởi công thức

( X , Y ) = ( x 1 − z , y 1 − z ) , {\displaystyle (X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),} ( x , y , z ) = ( 2 X 1 + X 2 + Y 2 , 2 Y 1 + X 2 + Y 2 , − 1 + X 2 + Y 2 1 + X 2 + Y 2 ) . {\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).}

Trong hệ tọa độ cầu (φ, θ) trên mặt cầu (với φ là điểm cao nhất và θ là góc phương vị) và tọa độ cực (R, Θ) trên mặt phẳng, phép chiếu và phép nghịch đảo như sau

( R , Θ ) = ( sin ⁡ φ 1 − cos ⁡ φ , θ ) , {\displaystyle (R,\Theta )=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right),} ( φ , θ ) = ( 2 arctan ⁡ ( 1 R ) , Θ ) . {\displaystyle (\varphi ,\theta )=\left(2\arctan \left({\frac {1}{R}}\right),\Theta \right).}

Vì thế, φ được hiểu là nhận giá trị π khi R = 0. Đồng thời, có nhiều cách để viết lại các công thức này dùng đẳng thức lượng giác (trigonometric identities). Trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z) ở trên mặt cầu và hệ tọa độ cực (R, Θ) ở trên mặt phẳngg, phép chiếu và phép nghịch đảo là

( R , Θ ) = ( r 1 − z , θ ) , {\displaystyle (R,\Theta )=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),} ( r , θ , z ) = ( 2 R 1 + R 2 , Θ , R 2 − 1 R 2 + 1 ) . {\displaystyle (r,\theta ,z)=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right).}